2017-11-28

R

version
##                _                           
## platform       x86_64-pc-linux-gnu         
## arch           x86_64                      
## os             linux-gnu                   
## system         x86_64, linux-gnu           
## status                                     
## major          3                           
## minor          4.2                         
## year           2017                        
## month          09                          
## day            28                          
## svn rev        73368                       
## language       R                           
## version.string R version 3.4.2 (2017-09-28)
## nickname       Short Summer

Inferência dos institutos

IC para cada candidato

\[IC( p_{A_{i}}, 1 - \alpha ) = \hat{p}_{A_i} \mp z_{1 - \frac{\alpha}{2} } \sqrt{ \dfrac{ \hat{p}_{A_i} (1- \hat{p}_{A_i})}{n} } \]

ic <- function(x,n,alpha){
  p <- x/n
  li <- round(p - qnorm(1-alpha/2)*sqrt(p*(1-p)/n), 3)
  ls <- round(p + qnorm(1-alpha/2)*sqrt(p*(1-p)/n), 3)
  cat('p_hat = ',round(p,4),', IC[ ', li,' ; ', ls,' ]',sep = '')
}
  • Desconsidera-se que para os \(k\) candidatos \[ \sum_{i=1}^k p_{A_{i}} = 1 \]

Exemplo 2 candidatos

\[\hat{p}_{A_{1_{( \; )}}}=\frac{217}{398} \approx 0.545, \;\;\;\; \hat{p}_{A_{2_{[ \; ]}}}=\frac{181}{398} \approx 0.455\]

ic(217, 398, .05)
## p_hat = 0.5452, IC[ 0.496 ; 0.594 ]
ic(181, 398, .05)
## p_hat = 0.4548, IC[ 0.406 ; 0.504 ]

Exemplo 3 candidatos

\[\hat{p}_{A_{1_{(\;)}}}=\frac{217}{568} \approx 0.382, \;\;\; \hat{p}_{A_{2_{[ \; ]}}}=\frac{181}{568} \approx 0.319, \;\;\; \hat{p}_{A_{3_{\{ \; \}}}}=\frac{170}{568} \approx 0.299\]

ic(217, 568, .05)
## p_hat = 0.382, IC[ 0.342 ; 0.422 ]
ic(181, 568, .05)
## p_hat = 0.3187, IC[ 0.28 ; 0.357 ]
ic(170, 568, .05)
## p_hat = 0.2993, IC[ 0.262 ; 0.337 ]

Inferência frequentista

Simplex 2D

  • Considera \(\sum_{i=1}^k p_{A_{i}} = 1\).

Simplex 2D

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/simplex2d.R')

Simplex 3D

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/simplex3d.R')

simplex3d(1/3,1/3,1/3,10,.05)   # Note a extrapolação da elipse
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.05)   # Maior amostra, dentro dos limites
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.01)   # alpha = 1%
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.1)    # alpha = 10%
simplex3d(0.7,0.2,0.1,50,.05)   # Candidato A no primeiro turno
simplex3d(0.5,0.3,0.2,50,.05)   # Mais equilibrado
simplex3d(0.5,0.3,0.2,100,.05)  # Disputa acirrada
simplex3d(0.5,0.3,0.2,500,.05)  # Deve haver segundo turno
simplex3d(0.5,0.3,0.2,2500,.05) # Tamanho usual, epsilon=2%
  • \[ n \approx \frac{1}{\varepsilon^2} \]
  • Como você definiria empate técnico?

Inferência bayesiana

Inferência bayesiana

  • Priori \[h(\theta)\]
  • Verossimilhança \[f(x | \theta)\]
  • Posteriori obtida através da operação bayesiana \[ h(\theta | x) \propto f(x | \theta) h(\theta) \]

Dirichlet conjugada da Multinomial

  • Priori \[\theta \sim Dir(1,1,\ldots,1)\]
  • Verossimilhança \[ X|\theta \sim Mult(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)\]
  • Posteriori \[ \theta|X \sim Dir\left(1+\sum_n I_{1},1+\sum_n I_{2},\ldots,1+\sum_n I_{p} \right) \]

Monte Carlo Ordinário

  • Método de Monte Carlo, proposto por Metropolis & Ulam (1949)
  • Estimativa da integral \[\int g( \theta ) h( \theta | x ) d \theta = E \left[ g( \theta ) | x \right]\]
  • pela média empírica \[\hat{E} \left[ g( \theta ) | x \right] = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} g( \theta_i )\]

Iminência do empate técnico

O limite inferior/superior do intervalo de confiança de um candidato é igual ao limite superior/inferior de outro candidato.

2 candidatos

3 candidatos

Exemplo bayesiana #1

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.5813972562, .3158114522, .1027912917), 50)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0.8374"  
## [2,] "B"     "0.0034"  
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.1574"  
## [5,] "AC"    "0.0018"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #2

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.5144202347, .3246860305, .1608937348), 100 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0.5724"  
## [2,] "B"     "2e-04"   
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.4247"  
## [5,] "AC"    "0.0027"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #3

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.4160925601, .3316216347, .2522858052), 500 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "2e-04"   
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.9891"  
## [5,] "AC"    "0.0107"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #4

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.3919345050, .3324785813, .2755869137), 10^3 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"       
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.9897"  
## [5,] "AC"    "0.0103"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #5

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.3518464606, .3332479566, .3149055828), 10^4 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"       
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.9905"  
## [5,] "AC"    "0.0095"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #6

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.3391808234, .3333247966, .3274943799), 10^5 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"       
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.9873"  
## [5,] "AC"    "0.0127"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #7

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo 
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes( c(.3333333335, .3333333333, .3333333331), 10^20 )
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"       
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.9929"  
## [5,] "AC"    "0.0071"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #8

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')
bayes( c(.4,.3,.3), 1000)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"       
## [2,] "B"     "0"       
## [3,] "C"     "0"       
## [4,] "AB"    "0.4951"  
## [5,] "AC"    "0.5049"  
## [6,] "BC"    "0"

Exemplo bayesiana #9

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')
bayes( c(.3,.25,.2,.1,.05), 100)
##       cenario posteriori
##  [1,] "A"     "3e-04"   
##  [2,] "B"     "0"       
##  [3,] "C"     "0"       
##  [4,] "D"     "0"       
##  [5,] "E"     "0"       
##  [6,] "AB"    "0.7366"  
##  [7,] "AC"    "0.2157"  
##  [8,] "AD"    "0.0019"  
##  [9,] "AE"    "0"       
## [10,] "BC"    "0.0453"  
## [11,] "BD"    "1e-04"   
## [12,] "BE"    "0"       
## [13,] "CD"    "1e-04"   
## [14,] "CE"    "0"       
## [15,] "DE"    "0"

Exemplo bayesiana #10

source('http://www.estatisticaclassica.com/code/bayes.R')
bayes(rep(1/5,5), 500)
##       cenario posteriori
##  [1,] "A"     "0"       
##  [2,] "B"     "0"       
##  [3,] "C"     "0"       
##  [4,] "D"     "0"       
##  [5,] "E"     "0"       
##  [6,] "AB"    "0.1008"  
##  [7,] "AC"    "0.1006"  
##  [8,] "AD"    "0.0989"  
##  [9,] "AE"    "0.0986"  
## [10,] "BC"    "0.1016"  
## [11,] "BD"    "0.0999"  
## [12,] "BE"    "0.0991"  
## [13,] "CD"    "0.1021"  
## [14,] "CE"    "0.1012"  
## [15,] "DE"    "0.0972"

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